对于大规模量子系统，例如量子网络与量子计算机，人们可以通过量子测量获得经典信息来对系统的量子状态进行重构描述。然而，获得相应的经典描述所需的测量次数往往随着系统量子比特数N呈指数级增长，这为量子设备的标定带来了巨大挑战。加州理工学院Huang、Kueng和Preskill于2020年在自然物理学(Nature Physics)杂志上提出了一种阴影层析(shadow tomography)估计方案[1]，该方案通过使用随机测量生成的经典无偏估计量，又称为经典阴影(classical shadow)，同时估计量子态的多个性质（见图1）。这个框架为学习量子态提供了一种优雅且严格的统计学方法，是连接量子-经典数据的有效途径。其特点在于经典阴影可以被存储和重复用于不同的性质估计任务中，并且在一定情况下有较高的效率。基于这个特性，实验人员可以“先测量，后提问”，使得实验设计更加灵活，进而引发了该方向的一系列研究[2]，例如在近期量子算法与量子机器学习中有重要应用。
图1. 量子阴影层析示意图。通过对一系列N比特量子系统的样本进行随机酉演化和测量，以获取量子系统的经典阴影。进而利用经典阴影预测量子系统的多种性质[1]。
在具体方案的实现过程中，人们需要考虑许多来自实际设备的限制，来提升现有测量方法。这个方向的研究主要关注随机测量的两个主要实际问题：设备噪声与执行效率。一方面，随机测量本身产生的噪声可能非常复杂，需要对其进行表征和缓解。另一方面，在真实实验中，执行不同的随机酉矩阵演化通常意味着需要改变控制脉冲甚至实验的物理设置，因此所需的测量资源消耗较大。
针对方案的执行效率问题，近日复旦大学信息科学与工程学院、电磁波信息科学教育部重点实验室的青年副研究员周游和博士后刘晴提出了一种基于多次采样(multi-shot)的阴影层析估计方案（参见图2），并系统地分析了在多次采样情况下的阴影估计方案的统计性能，以此作为对原始阴影估计方案的补充。相关研究成果以“Performance analysis of multi-shot shadow estimation”为题，于2023年6月29日发表在量子信息处理领域权威期刊Quantum[3]。芝加哥大学的研究人员在同期针对该文章撰写了相关的viewpoint[4].
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图2. 多次采样阴影估计方案。为了弥补实现随机酉演化的成本，可以在相同的酉演化下对连续准备的量子态进行K次投影测量，并在M轮随机抽样的酉演化中重复此过程，总共进行M*K次测量。
该团队考察了测量设置(measurement setting)之间的切换时间对随机测量的影响。原始的阴影估计方案从随机测量的独立同分布设置中生成经典阴影的样本，但是由于线路编译和硬件逻辑的延迟，这种“单次采样(single-shot)”（K=1）的随机测量对许多实验平台来说并不理想。相比之下，“多次采样”的阴影估计方案在给定的测量设置中重复测量，可能会更加的高效。这在先前的光学和超导平台上的阴影估计实验中得到了证实。同时，最近的研究还表明，多次采样随机测量可以保留更多的样本和测量设置，用以估计非线性观测量，进而用于纠缠度的量化问题等。
该团队研究了在这种多次采样场景下阴影估计方案的性能。具体而言，其性能特征由估计某个可观测量O的期望值的方差所决定。研究团队通过统计分析，发现除了[1]中引入的阴影范数(shadow-norm)||O||shadow之外，样本复杂度与称为交叉阴影范数(cross-shadow-norm)||O||Xshadow密切相关，该范数由输入量子态ρ和可观测量O共同决定，其刻画了具有相同测量设置的样本所生成的统计方差。
此外，该团队针对随机Pauli和Clifford测量，分析并展示了||O||Xshadow的上界。其中，团队通过严格的数学证明找到了采用随机Pauli测量估计Pauli可观测量的精确方差公式。具体而言，对于Pauli可观测量P，当Tr(Pρ) = 0时（见图3左（b）），估计量的统计方差与1/(MK)成比例，其中M和K分别为测量设置和每轮采样次数。在这种情况下，可以通过增加采样次数K来降低方差，其对方差抑制的效果与同程度增加测量设置M一样。这个特性也被称为采样效率(shot-efficiency)。
图3. 对于不同量子态ρ和可观测量O，随机Pauli（左图）和Clifford（右图）测量的统计方差随着随机测量设置轮次M、每轮采样次数K、观测量局域性权重w和量子比特数n的尺度变化图。
与此同时，研究团队对于随机全局Clifford测量也进行了理论分析和数值模拟并给出了对于一般观测量O的方差上界。该团队表明了对于Clifford测量，增加采样次数K通常对于降低样本方差作用不大，其数值模拟结果（如图3右所示）也进一步证实了这个结论。与此同时，荷兰和德国科学家Helsen和Walter在近期的文章中对全局Clifford测量证明了类似的结果[5]，并且发现引入（近似）酉4-设计(Unitary 4-design)随机酉矩阵可以使多次采样阴影估计方案再次具有效率优势。
该研究为基于多次采样的阴影估计的应用提供了理论指导，同时也启示相关领域的研究。通过更智能的方案设计来弥合理论和实验之间的差距，阴影估计和其他随机测量方法将成为探索和理解量子世界的强大工具。
复旦大学信息科学与工程学院周游青年副研究员为文章的第一作者，博士后刘晴为共同通讯作者。相关研究得到了国家自然科学基金以及复旦大学科研启动经费的支持。
参考文献：
论文链接：https://quantum-journal.org/papers/q-2023-06-29-1044/
